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LA DIMENSIÓN FILOSÓFICA DE LA MATEMÁTICA
Del panmatematismo pitagórico al matematicismo cartesiano (3)
● La Matemática base racional del pensamiento cartesiano
► «Entre todos los que han buscado la verdad en las ciencias, sólo los matemáticos han podido hallar algunas demostraciones, esto es, algunas razones ciertas y evidentes».
— Descartes. Discurso del Método (DM.AT.VI.19).
► «Los que buscan el camino recto de la verdad no deben ocuparse de ningún objeto sobre el que no puedan tener una certidumbre semejante a las demostraciones de la Aritmética y de la Geometría.».
— Descartes. Reglas para la dirección del espíritu (RII.AT.X 366).
► «Descartes combinaba en su mente los misterios de la naturaleza con las leyes de las Matemáticas, aspirando a desvelar los secretos de ambas».
— Epitafio de Descartes por H. Pierre Chanot, 1650 (533a).
► «Descartes tenía todo lo preciso para cambiar la faz de la Filosofía: fuerte imaginación, espíritu consecuente, grandes conocimientos, coraje para combatir los prejuicios e independencia intelectual».
— D'Alembert. Discours Préliminaire de l'Encyclopédie (Orbis, 1984, págs. 84, 85).
Descartes inaugura un proyecto científico y filosófico sin parangón en la Historia del Pensamiento, en el que la certidumbre de la Matemática ejerce un poder y adquiere una universalidad, que revoluciona todas las ciencias. Con sus fundamentales aportaciones en los campos de la Filosofía, la Geometría, la Óptica, la Mecánica y otros, Descartes da un aliento unitario y orgánico al pensamiento científico, construye una visión global del conocimiento, marca un nuevo rumbo en la Filosofía e inicia la cultura de los tiempos modernos.
La búsqueda cartesiana de la unidad del saber, incardinó la mente filosófica de Descartes hacia la Matemática, ciencia en la que encuentra el modelo paradigmático en el rastreo de las primeras verdades absolutamente ciertas que pudieran servirle de apoyo y fundamento en la reconstrucción de todo el edificio científico y filosófico, pues aspira a dar cuenta y razón de la totalidad del saber, con la pretensión de cimentar los principios de la Filosofía con la certidumbre de las Matemáticas, en palabras de Spinoza. Pero más que en los extensos conocimientos particulares de las Matemáticas aprendidos en su etapa escolar, Descartes se fija especialmente en el modo de proceder en la investigación matemática, en los rasgos característicos de la propia Matemática, en el espíritu y la naturaleza intelectual de la práctica del quehacer matemático, llegando a afirmar que las cosas que entran en la esfera del conocimiento se encadenan como las proposiciones geométricas (Discurso del Método AT,VI,19).
Profundas reflexiones sobre las condiciones intelectuales que habían concurrido en el pasado y gravitaban en el presente sobre toda esta actividad mental, relacionada con el trabajo matemático, que Descartes plasma en su obra de juventud, “Reglas para la dirección del espíritu”, le llevan a concebir el «Método para conducir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias» de “El Discurso del Método”, acta fundacional del llamado Cartesianismo, corriente filosófica que se dice basada en el método de la razón, lo que hay que entender como «método de la razón matemática», ya que las reglas de este Método de Pensamiento son extraídas de los procedimientos geométricos y están inspiradas, según Descartes, en los saberes matemáticos. En este sentido se quiere indicar que la Matemática es la base racional del pensamiento cartesiano, de modo que el llamado racionalismo cartesiano está poseído de un acusado matematicismo. Descartes adopta la Matemática como fundamento de lo que llama la Sabiduría Universal y nos habla de la “Mathesis Universales”, un saber más universal que la propia Matemática y aplicable a todas las ciencias, como extensión del modelo de conocimiento cierto y seguro de las Matemáticas a los estadios del saber cuyas verdades se obtienen al seguir los preceptos de “El Discurso del Método”:
► «La “Mathesis Universales” es preferible a todo otro conocimiento que nos hayan trasmitido los hombres en cuanto que es la fuente de todos los otros».
— Descartes. “Reglas para la dirección del espíritu” (RIX. AT. 406).
● “El Discurso del Método” y “La Geometría” de Descartes. Implicaciones recíprocas
● La visión de Descartes sobre “La Geometría”.
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LA DIMENSIÓN FILOSÓFICA DE LA MATEMÁTICA
Del panmatematismo pitagórico al matematicismo cartesiano (2)
► «El poder dialéctico sólo se revelará a quien sea experto en las ciencias matemáticas».
— Platón. República (533a).
► «Platón dio a las Matemáticas, y a la Geometría en particular, un inmenso impulso, gracias al celo que desplegó por ellas, del que son testimonio suficiente sus escritos llenos de discursos matemáticos que despiertan el entusiasmo por estas ciencias en aquellos que se entregan a la Filosofía.
— Proclo. Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides.
► «El Timeo pasa por ser la obra más sublime de toda la filosofía antigua. Voltaire. Diccionario filosófico.
► «Platón creyó ver en las Matemáticas el modelo establecido por Dios de todo proceder científico, en cualquier rama del saber.
— L.Hull. Historia y Filosofía de la Ciencia. Ariel.1981. pág.71.
La Academia de Atenas, fundada por Platón, fue el verdadero centro de toda la actividad filosófica y matemática de su época. Platón fue el gran inspirador, director y catalizador de casi toda la actividad matemática de su época. Siendo uno de los hombres más sabios de su tiempo, Platón no era propiamente matemático, pero su vehemente entusiasmo por la Matemática y su creencia en la importancia que esta ciencia tenía como propedéutica de la Filosofía, en la educación e instrucción de la juventud, en el entendimiento del Cosmos y en la formación del hombre de Estado, hizo que se convirtiera en un insigne artífice y mecenas de matemáticos, debiéndose a sus discípulos y amigos casi toda la ingente producción matemática del momento, entre la que se debe mencionar aspectos concretos como poliedros, cónicas, curvas, etc., pero sobre todo cuestiones de fundamentos de gran influencia sobre Los Elementos de Euclides, y en particular la solución a la grave crisis de los inconmensurables.
La doctrina platónica de mayor influencia en la Historia del Pensamiento es la Teoría de las Ideas, que tiene su origen en las formas geométricas, y es en el ámbito matemático en el que mejor se puede ilustrar, sobre todo por el significado de la participación –presencia de la idea en el objeto–, lo que da una imagen de la trascendencia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía de Platón. De hecho muchos Diálogos de Platón están plagados de discursos matemáticos, y en concreto en la República, Platón prescribe que para adquirir un espíritu filosófico es necesaria una exhaustiva formación en las cuatro ciencias del Quadrivium pitagórico (Aritmética, Geometría, Música y Astronomía) como base preliminar ineludible del supremo conocimiento dialéctico del Bien, la Belleza y la Justicia, verdadera finalidad de los estudios filosóficos, de modo que en toda actividad intelectual de la Academia, la Matemática, y en especial la Geometría, alcanza una significación filosófica y un valor ético, estético y político insoslayables.
Platón geometriza toda la realidad, y en la construcción de la cosmogonía del Timeo, la mágica belleza de la geometría de los poliedros asume una misión generatriz de los elementos naturales: el universo entero responde a una estructura geométrica responsable del orden cósmico pitagórico, establecido por la Divinidad con base en la justa y bella medida fundada en las formas y los números esenciales de la Geometría y la Aritmética.
Platón ha sido uno de los filósofos que mayor influjo ha tenido en la Historia del Pensamiento y que mayor atractivo ha ejercido sobre las concepciones acerca de la realidad matemática.
El idealismo platónico, desarrollado como el Pitagorismo, en una comunidad de intereses intelectuales –la Academia de Atenas– es el principal heredero de este panmatematismo pitagórico y por consiguiente es también una Filosofía de raíces matemáticas. Así lo reconoce Aristóteles (Metafísica, I.6, 987b) y así lo afirma el gran filósofo y matemático del pasado siglo, A.Whitehead (1861–1947), al escribir en su artículo La Matemática en la Historia del Pensamiento (en SIGMA, el mundo de las Matemáticas, Vol.1, pág.332):
► «El mundo platónico de las ideas es la forma revisada y refinada de la doctrina pitagórica de que el número es la base del mundo real».
En torno a la decisiva e inmediata influencia del Pitagorismo sobre el Platonismo, también escribe Bertrand Russell en su obra Historia de la Filosofía Occidental donde realiza un estudio crítico de la trascendencia de la Matemática en la Filosofía de Platón (Austral, 1995, vol.1):
► «Platón encontró la fuente principal de su inspiración en la Filosofía pitagórica» (pág.69).
► «[...] Lo que aparece como Platonismo resulta después de analizarlo, esencialmente Pitagorismo» (pág.75).
► «Platón era lo suficientemente pitagórico para creer que sin Matemáticas no era posible una verdadera sabiduría» (pág.144).
►«En la Filosofía de Platón existe la misma fusión de intelecto y de misticismo que en el Pitagorismo» (pág.162).
Platón va todavía más lejos que Pitágoras en cuanto a las atribuciones y funciones de las Matemáticas. Según Morris Kline (Matemáticas, la pérdida de la certidumbre. Siglo XXI. Madrid, 1985. Cap.1, pág. 17):
► «Platón insistía en que la realidad y la inteligibilidad del mundo físico sólo podrían ser aprehendidas por medio de las Matemáticas del mundo ideal. [...] Platón fue más allá de los pitagóricos por el hecho de que deseaba no solamente comprender la naturaleza por medio de las Matemáticas, sino sustituir a la naturaleza misma por las Matemáticas. [...] Las Matemáticas sustituirían a las investigaciones físicas».
De hecho el panmatematismo pitagórico y el idealismo platónico se prestan mutuo apoyo, toda vez que cuanto más se matematiza la realidad, tanto más se la transfiere, en cierto modo, a un plano ideal, y recíprocamente, todo intento filosófico de alcanzar la esencia última de la naturaleza en un mundo ideal, recibirá de las Matemáticas, como soporte substancial, el apoyo básico de la importancia de tratar con abstracciones, elemento que incorpora Pitágoras desde el mismo momento del nacimiento de la Filosofía y la Matemática. Por eso acaba A.Whitehead el aludido artículo con estas significativas palabras (pág. 338):
► «Verdaderamente Pitágoras, al fundar la Filosofía y la Matemática europeas, las dotó con la más afortunada de las conjeturas; o ¿fue quizá un destello de genio divino que penetró hasta la más recóndita naturaleza de las cosas?».
Las concepciones de Platón acerca de la Matemática son una parte integral de la naturaleza y desarrollo de la Filosofía platónica, y recíprocamente uno de los aspectos más importantes de la influencia de la Filosofía platónica en la Matemática tiene que ver (como se ha dicho) con su Teoría de las Ideas o las Formas que tiene su origen en el pensamiento pitagórico sobre la estructura matemática del Cosmos, aunque también proviene de las concepciones de Parménides sobre lo inteligible y de las diversas doctrinas socráticas. Platón geometriza toda la realidad, pero no sólo la natural, sino también todo ámbito espiritual –lo moral, lo estético, lo político, etc. – en un ambicioso proyecto que comprende a toda la naturaleza física y humana. Según Platón no debe haber aspecto, ya sea ético, social o científico que no se apoye en lo geométrico. Para Platón la Matemática no sólo es una realidad perfecta sino la auténtica realidad de la cual el mundo físico es un simple reflejo imperfecto. Las ideas matemáticas ocupan un estrato intermedio entre el mundo sensible y el mundo inteligible de las ideas superiores –la Bondad, la Belleza, la Justicia– que alcanzará el filósofo gracias al conocimiento previo de las ciencias matemáticas, que de esta forma adquieren una categoría filosófica con una dimensión ética, estética y política, ya que tal como se prescribe en la República de Platón son una propedéutica imprescindible para ascender hacia la Filosofía, y cuyo conocimiento se logra con el esfuerzo personal a través de la Educación, y en particular convenientemente interrogado por el maestro con hábil Mayéutica (Menón, 82b-85b), ya que todo aprendizaje –sobre todo el de las esencias matemáticas por su carácter inmutable, eterno e intemporal– lo es de un saber preexistente, que no es más que recuerdo, es decir, reminiscencia. En este aspecto, como en otros muchos, la originalidad de la Filosofía platónica es tributaria de la tradición pitagórica. Así ocurre también en el Timeo, un impresionante mito cosmogónico, fantasía geométrico-cósmica, plagada de misticismo religioso pitagórico, en la que Platón delinea el mundo físico y explica los fenómenos naturales en clave geométrica, mediante la acción de un Dios que actuando como demiurgo geometriza el universo y lo crea según las leyes de la Matemática.
Bertrand Russell subraya, en la obra citada anteriormente (pág.167), la importancia de la Matemática en el Platonismo antiguo a diferencia del actual:
► «Es notable que los platónicos modernos, con pocas excepciones, no sepan Matemáticas, a pesar de la inmensa importancia que Platón mismo atribuyó a la Aritmética y a la Geometría, y de la influencia inmensa que habían tenido sobre su Filosofía».
Efectivamente, no sólo la Matemática tiene una trascendencia fundamental en el pensamiento de Platón, como se advierte en la lectura de sus Diálogos, plenos por doquier de referencias y comentarios matemáticos, sino que el propio filosofo ejerció un influjo decisivo en la Matemática de su tiempo, al concederle un rango excepcional y un valor fundamental entre todos los estudios científicos y filosóficos de la Academia de Atenas. De ello son buena muestra muchos testimonios de la importancia relevante atribuida por Platón a la Geometría en particular, empezando por la legendaria sentencia del frontispicio de la Academia –«No entre nadie ignorante en Geometría»–. Y no sólo la Geometría, sino también las demás ciencias del Quadrivium pitagórico –término acuñado por Boecio al comienzo de su obra Institutio Arithmetica –,cuya estimación como preludio del estudio de la Filosofía debió de prolongarse en el tiempo como señala la anécdota que relata Diógenes Laercio en Vida de los más ilustres filósofos griegos (Libro IV, Xenócrates.4, pág.101):
► «A uno que quería concurrir a su escuela [la Academia] sin haber antes aprendido Música, Geometría y Astronomía, le dijo: “Anda, vete de aquí, pues careces de los asideros de la Filosofía”, lo que significa concebir estas ciencias como la base de la Filosofía.»
Todavía mucho más tarde, ya hacia el año 500 de nuestra era, precisamente el filósofo y matemático neopitagórico Boecio seguía insistiendo acerca del carácter preliminar de las artes matemáticas como introducción a la Filosofía (Institutio Arithmetica, Fundamentos de Aritmética). Ediciones griegas y latinas. Universidad de León, 2002, cap.1, págs. 23–24):
► «Entre los hombres de autoridad inveterada que guiados por Pitágoras han mostrado el resplandor supremo de su espíritu y la fuerza de su pensamiento, se tiene la opinión de que no llegó nadie en los conocimientos de Filosofía a la perfección consumada si el acrecentamiento de tan noble sabiduría no pisaba, por así decir, en cuatro vías [las cuatro Ciencias o Artes de Quadrivium pitagórico: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía]. [...] Si el investigador carece de estas cuatro disciplinas, no puede encontrar la verdad y sin esta reflexión sobre la verdad nadie puede tener un conocimiento cierto».
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LA DIMENSIÓN FILOSÓFICA DE LA MATEMÁTICA
Del panmatematismo pitagórico al matematicismo cartesiano (1)
► «Inspirándose en Pitágoras, los antiguos fueron los primeros que definieron Filosofía diciendo que era el amor a la sabiduría, que tal es lo que significa etimológicamente dicha palabra».
— Nicómaco de Gerasa. Introducción a la Aritmética. Libro I.
► «Pitágoras radicaba la felicidad suprema en la contemplación de la armonía de los ritmos del universo dirigido por los números».
— Heráclides del Ponto (citado por Clemente de Alejandría en Stromata).
► «La Aritmética fuerza el alma a servirse de la inteligencia pura para alcanzar la verdad en sí. [...] La Geometría conduce a una contemplación más factible de la idea del Bien. Dirigirá el alma hacia la verdad y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su mirada hacia arriba».
— Platón. República(525d–527b).
► «Según Platón, la salvación individual se logra comprendiendo los valores eternos de Verdad, Belleza y Bondad. La senda hacia esa comprensión reside en la Matemática y la Dialéctica ».
— B.Farrington. Ciencia griega. 1979. pág. 83.
► «Esas largas cadenas trabadas de razones muy simples y fáciles, que los geómetras acostumbran a emplear para llegar a sus más difíciles demostraciones, me habían dado ocasión para imaginar que todas las cosas que entran en la esfera del conocimiento humano se encadenan de la misma manera».
— Descartes. Discurso del Método (DM.AT.VI.19).
► «Descartes con un método nuevo hizo pasar de las tinieblas a la luz cuanto en las Matemáticas había permanecido inaccesible a los antiguos y todo cuanto los contemporáneos habían sido incapaces de descubrir».
— Spinoza. Los Principios de la Filosofía cartesiana. Prólogo.
Al ser afán fundamental de la Filosofía el acometer la racionalización del mayor número de ámbitos y aspectos de la realidad, el intento de matematizarlo todo y pretender reducir todo lo existente a relaciones matemáticas, sería la consumación del sueño filosófico, que tiene lugar desde los mismos orígenes comunes de la Matemática y la Filosofía en el horizonte helénico del siglo VI a.C. Esta actitud filosófica que podríamos llamar panmatematismo o matematicismo navega lo largo de toda la Historia de la Cultura, pero se manifiesta especialmente en tres de los más importantes filósofos que dedicaron buena parte de su discurrir especulativo a la Matemática. Se trata de Pitágoras, Platón y Descartes, en quienes concretaremos los íntimos vínculos que existen entre dos de las construcciones intelectuales más sobresalientes del ser humano: La Matemática y la Filosofía.
La Filosofía griega ejerció una influencia definitiva en la aparición y desarrollo de la Matemática racional en el mundo griego. De hecho los primeros matemáticos griegos eran filósofos y la especulación filosófica y la investigación matemática se desarrollaban de consuno. En la civilización helénica la Matemática está completamente anegada por el espíritu griego, en el que el pensamiento conceptual general y el pensamiento matemático son aspectos esenciales de la cultura y por tanto la Filosofía y la Matemática están interpenetradas de forma muy significativa. A los vocablos Filosofía y la Matemática les damos el significado actual, después de varios siglos en que la Ciencia está desgajada de la Filosofía. Pero Platón y Aristóteles, los dos filósofos griegos que han acuñado la mayor parte de la terminología básica de la Filosofía y de la Ciencia, no habían señalado de forma literal diferencias radicales entre ambas, aunque la distinción entre el uso de uno y otro término parece residir en que, de acuerdo con la etimología, la Filosofía debía designar una actitud vital de amor a la verdad, mientras que la Ciencia o Episteme aludiría a la forma de acceder a esa verdad como conocimiento universal, distinguido de la experiencia o empeiríaque sólo persigue lo particular.
En cuanto a las ciencias matemáticas, se las concibe como una forma de Filosofía o como una de las disciplinas filosóficas. Así lo interpretamos en algunos textos de Platón y Aristóteles:
► « [...] Hay algunos que demuestran interés por la Geometría o cualquier otro tipo de Filosofía» (Platón, Teeteto, 143d).
► « [...] Hay tres filosofías especulativas: la Matemática, la Física y la Teología» (Aristóteles, Metafísica, VI.1, 1026a).
Podemos entender hoy que la Filosofía aspira a dar cuenta y razón de la totalidad del saber, en tanto que la Ciencia buscaría la explicación de aspectos particulares de la realidad. Pero en el mundo helénico no era exactamente así. Platón y Aristóteles, sin distinguir fehacientemente entre Filosofía y Ciencia, parecen ofrecer el tipo de causa buscada como elemento de cierta diferenciación entre ambas. La búsqueda de las causas primeras (Timeo, 46d–46e; Metafísica, I.2, 982b–983a) que sirve de fundamento a lo que se trata de explicar movería a la Filosofía, mientras que el examen de las causas segundas (Fedón, 99b), causas necesarias o conditio sine qua non, nos acercaría a la Ciencia. En cualquier caso y al ceñirse a Filosofía y Matemáticas, podemos decir que en la Filosofía griega predomina la búsqueda de las causas primeras al tiempo que en la Matemática griega se recurre ante todo a la causa necesaria, de la que no habla concretamente Aristóteles de forma directa, pero que tendría que ver con el tratamiento que hace de las ciencias apodícticas–que proceden por demostración deductiva– en los Segundos Analíticos II.11, 94a.
Por diversas fuentes sabemos que fue Pitágoras quien utilizó por primera vez, es decir que acuñó, en el lenguaje del saber, los términos de Filosofía y Matemática. Sobre el significado de Matemática escribe el filósofo neoplatónico Proclo en el prólogo de su “Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides”:
► «El nombre de Matemática dado a una ciencia de razonamientos creemos que proviene de los pitagóricos, los cuales comprendieron que todo lo que se llama matema es una reminiscencia depositada en las almas desde fuera, como las imágenes que, emanadas de los objetos sensibles, se impregnan en la imaginación, no formada por episodios, como el conocimiento de opinión, sino sugerida desde dentro por el conocimiento razonado volviéndose sobre sí mismo».
Proclo alude a la denominación de Matemática en relación con la concepción pitagórica de esta actividad intelectual como encarnación del conocimiento mediante reminiscencia, de modo que Matemática derivaría del término Mathema vinculado al significado de conocer o aprender, pero no a un ámbito específico del saber, sino al saber en sí mismo, de ahí los estrechos vínculos primigenios de la Matemática con la Filosofía, como actividades intelectuales que no sólo tendrían un origen común sino que en el nacimiento de la Matemática racional en Grecia se realiza la condición de la Filosofía de dar cuenta o razón de la realidad al construir el conocimiento. Precisamente, dar cuenta y dar razón, son términos matemáticos.
Con la aparición de la Filosofía surgen inmediatamente, entre otras muchas, dos inquietantes preguntas e inmediatos intentos de respuesta: ¿Cuál es la naturaleza de las entidades matemáticas, tales como los números y las formas geométricas? ¿Y cuál es su situación en el reino de las cosas? Para Pitágoras los entes matemáticos –los números y las formas– eran la materia última de que estaban compuestas las cosas reales de nuestra experiencia sensible. De esta forma, Pitágoras inaugura una preocupación filosófica –acerca de la naturaleza de las entidades matemáticas, del lugar que ocupan en los diversos dominios de la realidad y de las relaciones que establecen con los diversos ámbitos del conocimiento–, que a partir de Platón tiene una larga historia y que ha promovido una perenne reflexión ontológica, hasta nuestros días, tanto en el campo de la Filosofía como en el de la Matemática, y así lo atestiguan algunas frases de relativa actualidad como las palabras del brillante matemático inglés G.H.Hardy en su famosa obra “Apología de un matemático” (Nivola. Madrid, 1999. pág.114):
► «Sobre la naturaleza de la realidad matemática no existe acuerdo tanto entre los matemáticos como entre los filósofos. Algunos mantienen que dicha realidad es mental y que de alguna forma la construimos, otros sostienen que tiene una existencia externa e independiente. Una persona que fuera capaz de dar una explicación convincente de la realidad matemática resolvería los problemas más difíciles de la Metafísica. Si además en su explicación incluyese a la realidad física, resolvería todos ellos».
El matemático y ensayista de éxito, de los años 20 del siglo pasado, O.Spengler, en el capítulo I titulado «El sentido de los números» de su conocida obra La decadencia de Occidente (Austral, Madrid, 1998), escribe sobre la esencia de la Matemática (pags.136–137):
► «La Matemática ocupa un puesto peculiar entre todas las creaciones del espíritu. Es una ciencia de estilo riguroso, como la Lógica, pero más amplia y mucho más rica de contenido; es un verdadero arte, que puede ponerse al lado de la plástica y de la música, porque como éstas, ha menester una inspiración directriz y amplias convenciones formales para su desarrollo; es, por último, una metafísica de primer orden, como lo demuestra Platón, y sobre todo Leibniz. El desarrollo de la Filosofía se ha verificado hasta ahora en íntima unión con una Matemática correspondiente».
La comunidad pitagórica estableció una cosmovisión en la que toda la naturaleza estaba regida por un orden matemático que respondía al término Cosmos en la descripción de un universo armonioso y ordenado por unas leyes cognoscibles e inteligibles por el hombre a través de número, que como «esencia de todas las cosas» era el principio generador en el macrocosmos y el microcosmos. Para Pitágoras Filosofía, Ciencia, Matemáticas, Cosmología, Música y Religión, son actividades a las que el número confiere una unidad, que las convierte en aspectos indisociables de una forma de vida, en una congregación religiosa, iluminada por un entusiasmo místico que desarrolla una pasión por el conocimiento, mediante la especulación filosófica y matemática como ocupaciones esenciales de la cotidianidad.
Spengler sintetiza la Filosofía pitagórica del número con estas elocuentes palabras (pág.138):
► «En el número, como signo de la total limitación extensiva, reside, como lo comprendió Pitágoras, con la íntima certidumbre de una sublime intuición religiosa, la esencia de todo lo real, esto es, de lo producido, de lo conocido y, al mismo tiempo limitado».
Al respecto de lo mismo, también escribe el filósofo y matemático Bertrand Russell en su obra “Los Principios de la Matemática” (Espasa-Calpe, Madrid, 1977, pág.12):
► «Las doctrinas de Pitágoras, que comenzaron con el misticismo aritmético, influyeron sobre toda la Filosofía y Matemática siguiente con mayor profundidad de lo que generalmente se cree. Los números eran inmutables y eternos, como los astros celestes; los números eran inteligibles: la ciencia de los números era la llave del universo».
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El eminente artista geómetra ALBERTO DURERO (1471–1528) nació un 21 de mayo.
ALBERTO DURERO: La Geometría como Fundamento de las Artes
► «La familiaridad de las construcciones geométricas forma el ojo y el espíritu del artista-geómetra y le confiere una cierta seguridad que “hace la mano obediente”».
— ALBERTO DURERO. ”De la Medida”. Edición de Jeanne Peiffer. Akal. Madrid, 2000. Pág.122.
La Matemática ha sido uno de los argumentos más importantes en las especulaciones teóricas de DURERO sobre el Arte, que pretendían elevar a intelectual el carácter artesanal de la actividad artística, tema recurrente a lo largo de la época del Renacimiento.
DURERO puso la Geometría al servicio de su expresividad en el Arte por su capacidad de evocar simbólicamente, a través de un ideal de belleza, lo esencial, lo original, lo inmutable y lo verdadero, en el afán de conocimiento de lo universal, de modo que subyace en toda obra de DURERO una geometría, ostensible o secreta, que conforma proporciones, da significado a las intenciones del artista y contribuye a la emoción y al misterio que emana de la sublime belleza de sus composiciones artísticas.
Pero DURERO no se limita a la aplicación sobre el Arte de la Matemática útil o práctica, sino también a los aspectos filosóficos de las Matemáticas –los saberes matemáticos– de modo que con DURERO hablamos de “Arte, Geometría y Pensamiento”.
Para DURERO “la armonía de las proporciones” es la esencia de la Belleza en su Filosofía de la Estética. Genio, ingenio y técnica, presiden sus cálculos, proporciones y simetrías, fundamento de la belleza que trasmite toda su obra artística, que en modo alguno es casual, sino consecuencia de la primigenia armonía pitagórico-platónica de las proporciones que como matemático revela y como artista aplica.
Al experimentar el descubrimiento de unas proporciones geométricas que simbolizan la unidad de la Belleza, el arte de DURERO da un giro filosófico que alcanza el clímax en su famoso grabado de La Melancolía I.
Para Erasmo, DURERO es el «segundo Apeles» cuando escribe en “De recta Latini Graecique sermonis”:
► «Apeles, como Durero habría enseñado mil cosas admirables sobre los misterios del arte gráfico extraídos de las ciencias matemáticas».
En el famoso texto del matemático M. Chasles, “Aperçu historique sur l’origine et les méthodes en géométrie” (París, 1837, pág.529), el gran geómetra del siglo XIX compara a Durero con Leonardo:
► «El siglo XVI nos presenta a dos célebres pintores, Alberto Durero y Leonardo da Vinci, que merecen ser considerados también entre los geómetras más sabios de su época».
Como los artistas–geómetras italianos, DURERO estaba convencido de que el nuevo Arte debería ser fundamentado sobre la ciencia geométrica, la más exacta, lógica y gráficamente constructiva de todas las ciencias. Para DURERO, Italia le ofrecería no sólo nuevas ideas a las Artes, sino también un mundo donde tenía lugar un espectacular renacimiento de la Matemática. DURERO realizó un primer viaje a Italia en 1494, y aunque no pudo contactar con ningún matemático importante, sí trabó relación con Jacopo de Barbari –el presunto autor del famoso cuadro sobre Luca Pacioli con sus famosos atributos matemáticos– quien le habló del trabajo matemático del franciscano y de su concepción sobre las doctrinas acerca de la Belleza, el Arte y la Geometría. DURERO tampoco pudo contactar con Leonardo, pero sí conocer la excepcional importancia que el gran genio de Vinci concedía a la Matemática como fundamento, instrumento y vehículo expresivo del Arte.
De regreso a su ciudad natal, Nuremberg, DURERO inicia profundos estudios de Matemáticas. Al acceder a la nutrida y valiosa biblioteca de Regiomontano, empieza por “Los Elementos” de Euclides, algunas obras de Arquímedesy la famosa obra de Vitrubio “De Architectura” y se familiariza con los estudios de L.B. Alberti y Luca Pacioli sobre Arte y Matemáticas, y en particular con las “Teorías sobre la Proporción”, que empiezan a dar sus frutos en la Pintura de DURERO a partir de 1500. Así se advierte en el famoso autorretrato, como “Ecce Homo”, de este año –donde las dimensiones de la cabeza guardan una estricta proporcionalidad– y sobre todo en el grabado de “Adán y Eva” (1504), donde aplica intrincadas construcciones con regla y compás; también en sus grabados en madera sobre “La vida de la Virgen” (1502–1505), donde, además, impone su dominio de la perspectiva, alcanzado en sus estudios de Geometría. Con estos trabajos DURERO adquiere una amplia reputación como artista y como matemático, al conjugar de forma equilibrada la perfección estética y los saberes matemáticos, y cumplir un proyecto de inspiración humanista: fundamentar el Arte de la Pintura sobre la Geometría, para elevar la profesión de artista al rango de “Arte Liberal”.
Entre 1505 y 1507 DURERO vuelve de nuevo a Italia, pero esta vez le mueve más aprender la Matemática que el Arte de los italianos. A la búsqueda de los secretos matemáticos del Arte, DURERO visita en Bolonia a Luca Pacioli y se obsesiona por alcanzar las cumbres del conocimiento matemático, regresando a Alemania con el firme propósito de profundizar en los saberes geométricos y sus aplicaciones a las Artes.
DURERO así lo hace, estudia y recopila notas matemáticas que utilizará después en sus trabajos matemáticos, mientras produce destacadas obras de arte, entre ellas la de mayor importancia matemática, “La Melancolía” (1514) un grabado pleno de simbolismo geométrico, matemático y freudiano.
En 1525, DURERO publica “Underweysung der Messung” [recién editado por vez primera en español (DURERO, Akal, Madrid, 2000), con el nombre de “De la Medida”]. Se trata de una extensa e intensa enciclopedia geométrica para pintores, redactada por un genial maestro artista-geómetra, formado en el cruce de las tradiciones prácticas, artesanas, sabias, artísticas y humanistas, que pretendía dotar a la creación artística de una base científico-geométrica. Es por esto por lo que la obra de DURERO es un magnífico manantial de problemas para enseñar y aprender Geometría con acentos estéticos, científicos e históricos de una ingente amplitud temática: estudio de diversas curvas –espirales y hélices, generación de cónicas, la primera sinusoide, el “Folium” de DURERO , la Epicicloide, la Concoide, etc.–, Teoría de las Proporciones, división de un arco de círculo para la construcción de polígonos regulares inscritos en la circunferencia, y también pavimentos y rosetones, problemas clásicos griegos –Cuadratura del círculo, Duplicación del cubo, Trisección del ángulo–, poliedros –platónicos y arquimedianos–, Perspectiva central, etc. Aunque DURERO fue un gran admirador de Euclides, los problemas geométricos que trata el “Underweysung der Messiung” insisten más sobre la construcción que sobre la demostración.
En 1527 DURERO publica “Ettliche underricht”, un tratado sobre fortificaciones que ante la inminente y flagrante amenaza turca, tuvo una gran trascendencia militar en la defensa de las ciudades. Con sus métodos de resolver los problemas de proyección y describir el movimiento de los cuerpos en el espacio, puede decirse que DURERO anticipa algunos aspectos de la Geometría Descriptiva de Monge de 1799.
DURERO fue un gran geómetra, pero debido a su genialidad como artista, grabador y colorista, quizá no se ha valorado suficientemente su faceta de geómetra, que es una de las fuentes principales de su Arte.
Como artista y como matemático a DURERO lo que más le interesa son las Teorías sobre la Proporción y su aplicación al Arte, sobre la que realizó una inagotable investigación personal que culmina en su obra de 1528 “Cuatro libros sobre las proporciones del cuerpo humano”, donde fundamenta su Filosofía de la Belleza en la “Armonía de las Proporciones”, que redunda en el gran principio estético de la antigüedad y del Renacimiento italiano, según el cual «la belleza consiste en la armonía de las partes entre sí y con el todo», lo que se llamó “harmonia” en griego, “simetria” o “concinnitas”, en latín y “convenienza” en el italiano de L.B. Alberti, Pacioli, Leonardo, Barbaro y Palladio. DURERO lo designa con el polisémico término de “Vergleichung”:
► «Lo mismo que cada parte en sí debe ser convenientemente dibujada, también su reunión debe crear una armonía de conjunto, [...], porque a los elementos armoniosos se les tiene por bellos».
¿Pero cómo alcanzar una buena proporción? La solución o al menos una aproximación a ella está en la Geometría (Alberto DURERO. ”De la Medida”. Akal. Madrid, 2000. Pág.120):
► «El error es consustancial con la facultad de conocer, [...], pero aquel que apoya su obra en una demostración geométrica y muestra una verdad bien fundada, todo el mundo debe creerlo, [...], y es justo tener a ese hombre por un maestro que haya recibido un don de Dios. Y los principios de su demostración son deseables de oír y sus obras aún más agradables de ver».
El que entiende esta Geometría, según DURERO, la ha recibido como «don de Dios», el “Dios Geómetra” que, en lenguaje del “Libro de la Sabiduría” (que cita en diversos pasajes), creó el mundo según «las leyes de la medida, del número y del peso». Al ser de esencia divina, esta Geometría es con frecuencia un ideal fuera del alcance de las criaturas que por naturaleza no pueden llegar a tanta perfección, ya que el saber geométrico de que disponen tiene un contenido cognitivo limitado. Pero cuanto más se sepa mejor,
► «porque uno se hace más semejante a la imagen de Dios que todo lo sabe aumentando el poder creador del artista-geómetra. Además, el que enseña a los otros lo que ha aprendido, obra bien, porque en ello sigue la voluntad de Dios, por quien nosotros sabemos».
DURERO distingue una Geometría demostrativa, euclidiana la “Geometria” –en latín– y una Geometría constructiva la “Messung”, que enseña reglas y métodos. La diferencia entre los conceptos abstractos de la Geometria” y los objetos visibles y extensos de la “Messung” queda patente en DURERO cuando considera junto a la definición euclidiana de punto como elemento geométrico sin tamaño –sin longitud, ni anchura ni grosor–, como hacía Leonardo en el “Tratado de la Pintura”, una realización práctica «como un diseño hecho con la punta de una pluma». La Geometría, al demostrar, hace partícipe al «artista-geómetra» de la verdad divina, pero no se puede demostrar todo, por lo que debemos auxiliarnos del «Arte de la Medida», y adquirir una sólida experiencia al contemplar la naturaleza y operar con medidas empíricas sobre ella,
► «porque en verdad el Arte [es decir, el saber], se encuentra encerrado en la naturaleza; el que sabe extraerlo de ella, lo posee, [...]y gracias a la Geometría, puedes demostrar la justeza de muchas cosas en tu obra. [...]. Si te has instruido en la teoría y la práctica, el arte adquirido ha dotado a tu ojo de un justo sentido de la medida». Según DURERO:
► «La familiaridad de las construcciones geométricas forma el ojo y el espíritu del artista-geómetra y le confiere una cierta seguridad que “hace la mano obediente”».
— ”De la Medida”. Edición de Jeanne Peiffer. Akal. Madrid, 2000. Pág.122.
......
LA DIMENSIÓN FILOSÓFICA DE LA MATEMÁTICA
Del panmatematismo pitagórico al matematicismo cartesiano (2)
► «El poder dialéctico sólo se revelará a quien sea experto en las ciencias matemáticas».
— Platón. República (533a).
► «Platón dio a las Matemáticas, y a la Geometría en particular, un inmenso impulso, gracias al celo que desplegó por ellas, del que son testimonio suficiente sus escritos llenos de discursos matemáticos que despiertan el entusiasmo por estas ciencias en aquellos que se entregan a la Filosofía.
— Proclo. Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides.
► «El Timeo pasa por ser la obra más sublime de toda la filosofía antigua. Voltaire. Diccionario filosófico.
► «Platón creyó ver en las Matemáticas el modelo establecido por Dios de todo proceder científico, en cualquier rama del saber.
— L.Hull. Historia y Filosofía de la Ciencia. Ariel.1981. pág.71.
La Academia de Atenas, fundada por Platón, fue el verdadero centro de toda la actividad filosófica y matemática de su época. Platón fue el gran inspirador, director y catalizador de casi toda la actividad matemática de su época. Siendo uno de los hombres más sabios de su tiempo, Platón no era propiamente matemático, pero su vehemente entusiasmo por la Matemática y su creencia en la importancia que esta ciencia tenía como propedéutica de la Filosofía, en la educación e instrucción de la juventud, en el entendimiento del Cosmos y en la formación del hombre de Estado, hizo que se convirtiera en un insigne artífice y mecenas de matemáticos, debiéndose a sus discípulos y amigos casi toda la ingente producción matemática del momento, entre la que se debe mencionar aspectos concretos como poliedros, cónicas, curvas, etc., pero sobre todo cuestiones de fundamentos de gran influencia sobre Los Elementos de Euclides, y en particular la solución a la grave crisis de los inconmensurables.
La doctrina platónica de mayor influencia en la Historia del Pensamiento es la Teoría de las Ideas, que tiene su origen en las formas geométricas, y es en el ámbito matemático en el que mejor se puede ilustrar, sobre todo por el significado de la participación –presencia de la idea en el objeto–, lo que da una imagen de la trascendencia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía de Platón. De hecho muchos Diálogos de Platón están plagados de discursos matemáticos, y en concreto en la República, Platón prescribe que para adquirir un espíritu filosófico es necesaria una exhaustiva formación en las cuatro ciencias del Quadrivium pitagórico (Aritmética, Geometría, Música y Astronomía) como base preliminar ineludible del supremo conocimiento dialéctico del Bien, la Belleza y la Justicia, verdadera finalidad de los estudios filosóficos, de modo que en toda actividad intelectual de la Academia, la Matemática, y en especial la Geometría, alcanza una significación filosófica y un valor ético, estético y político insoslayables.
Platón geometriza toda la realidad, y en la construcción de la cosmogonía del Timeo, la mágica belleza de la geometría de los poliedros asume una misión generatriz de los elementos naturales: el universo entero responde a una estructura geométrica responsable del orden cósmico pitagórico, establecido por la Divinidad con base en la justa y bella medida fundada en las formas y los números esenciales de la Geometría y la Aritmética.
Platón ha sido uno de los filósofos que mayor influjo ha tenido en la Historia del Pensamiento y que mayor atractivo ha ejercido sobre las concepciones acerca de la realidad matemática.
El idealismo platónico, desarrollado como el Pitagorismo, en una comunidad de intereses intelectuales –la Academia de Atenas– es el principal heredero de este panmatematismo pitagórico y por consiguiente es también una Filosofía de raíces matemáticas. Así lo reconoce Aristóteles (Metafísica, I.6, 987b) y así lo afirma el gran filósofo y matemático del pasado siglo, A.Whitehead (1861–1947), al escribir en su artículo La Matemática en la Historia del Pensamiento (en SIGMA, el mundo de las Matemáticas, Vol.1, pág.332):
► «El mundo platónico de las ideas es la forma revisada y refinada de la doctrina pitagórica de que el número es la base del mundo real».
En torno a la decisiva e inmediata influencia del Pitagorismo sobre el Platonismo, también escribe Bertrand Russell en su obra Historia de la Filosofía Occidental donde realiza un estudio crítico de la trascendencia de la Matemática en la Filosofía de Platón (Austral, 1995, vol.1):
► «Platón encontró la fuente principal de su inspiración en la Filosofía pitagórica» (pág.69).
► «[...] Lo que aparece como Platonismo resulta después de analizarlo, esencialmente Pitagorismo» (pág.75).
► «Platón era lo suficientemente pitagórico para creer que sin Matemáticas no era posible una verdadera sabiduría» (pág.144).
►«En la Filosofía de Platón existe la misma fusión de intelecto y de misticismo que en el Pitagorismo» (pág.162).
Platón va todavía más lejos que Pitágoras en cuanto a las atribuciones y funciones de las Matemáticas. Según Morris Kline (Matemáticas, la pérdida de la certidumbre. Siglo XXI. Madrid, 1985. Cap.1, pág. 17):
► «Platón insistía en que la realidad y la inteligibilidad del mundo físico sólo podrían ser aprehendidas por medio de las Matemáticas del mundo ideal. [...] Platón fue más allá de los pitagóricos por el hecho de que deseaba no solamente comprender la naturaleza por medio de las Matemáticas, sino sustituir a la naturaleza misma por las Matemáticas. [...] Las Matemáticas sustituirían a las investigaciones físicas».
De hecho el panmatematismo pitagórico y el idealismo platónico se prestan mutuo apoyo, toda vez que cuanto más se matematiza la realidad, tanto más se la transfiere, en cierto modo, a un plano ideal, y recíprocamente, todo intento filosófico de alcanzar la esencia última de la naturaleza en un mundo ideal, recibirá de las Matemáticas, como soporte substancial, el apoyo básico de la importancia de tratar con abstracciones, elemento que incorpora Pitágoras desde el mismo momento del nacimiento de la Filosofía y la Matemática. Por eso acaba A.Whitehead el aludido artículo con estas significativas palabras (pág. 338):
► «Verdaderamente Pitágoras, al fundar la Filosofía y la Matemática europeas, las dotó con la más afortunada de las conjeturas; o ¿fue quizá un destello de genio divino que penetró hasta la más recóndita naturaleza de las cosas?».
Las concepciones de Platón acerca de la Matemática son una parte integral de la naturaleza y desarrollo de la Filosofía platónica, y recíprocamente uno de los aspectos más importantes de la influencia de la Filosofía platónica en la Matemática tiene que ver (como se ha dicho) con su Teoría de las Ideas o las Formas que tiene su origen en el pensamiento pitagórico sobre la estructura matemática del Cosmos, aunque también proviene de las concepciones de Parménides sobre lo inteligible y de las diversas doctrinas socráticas. Platón geometriza toda la realidad, pero no sólo la natural, sino también todo ámbito espiritual –lo moral, lo estético, lo político, etc. – en un ambicioso proyecto que comprende a toda la naturaleza física y humana. Según Platón no debe haber aspecto, ya sea ético, social o científico que no se apoye en lo geométrico. Para Platón la Matemática no sólo es una realidad perfecta sino la auténtica realidad de la cual el mundo físico es un simple reflejo imperfecto. Las ideas matemáticas ocupan un estrato intermedio entre el mundo sensible y el mundo inteligible de las ideas superiores –la Bondad, la Belleza, la Justicia– que alcanzará el filósofo gracias al conocimiento previo de las ciencias matemáticas, que de esta forma adquieren una categoría filosófica con una dimensión ética, estética y política, ya que tal como se prescribe en la República de Platón son una propedéutica imprescindible para ascender hacia la Filosofía, y cuyo conocimiento se logra con el esfuerzo personal a través de la Educación, y en particular convenientemente interrogado por el maestro con hábil Mayéutica (Menón, 82b-85b), ya que todo aprendizaje –sobre todo el de las esencias matemáticas por su carácter inmutable, eterno e intemporal– lo es de un saber preexistente, que no es más que recuerdo, es decir, reminiscencia. En este aspecto, como en otros muchos, la originalidad de la Filosofía platónica es tributaria de la tradición pitagórica. Así ocurre también en el Timeo, un impresionante mito cosmogónico, fantasía geométrico-cósmica, plagada de misticismo religioso pitagórico, en la que Platón delinea el mundo físico y explica los fenómenos naturales en clave geométrica, mediante la acción de un Dios que actuando como demiurgo geometriza el universo y lo crea según las leyes de la Matemática.
Bertrand Russell subraya, en la obra citada anteriormente (pág.167), la importancia de la Matemática en el Platonismo antiguo a diferencia del actual:
► «Es notable que los platónicos modernos, con pocas excepciones, no sepan Matemáticas, a pesar de la inmensa importancia que Platón mismo atribuyó a la Aritmética y a la Geometría, y de la influencia inmensa que habían tenido sobre su Filosofía».
Efectivamente, no sólo la Matemática tiene una trascendencia fundamental en el pensamiento de Platón, como se advierte en la lectura de sus Diálogos, plenos por doquier de referencias y comentarios matemáticos, sino que el propio filosofo ejerció un influjo decisivo en la Matemática de su tiempo, al concederle un rango excepcional y un valor fundamental entre todos los estudios científicos y filosóficos de la Academia de Atenas. De ello son buena muestra muchos testimonios de la importancia relevante atribuida por Platón a la Geometría en particular, empezando por la legendaria sentencia del frontispicio de la Academia –«No entre nadie ignorante en Geometría»–. Y no sólo la Geometría, sino también las demás ciencias del Quadrivium pitagórico –término acuñado por Boecio al comienzo de su obra Institutio Arithmetica –,cuya estimación como preludio del estudio de la Filosofía debió de prolongarse en el tiempo como señala la anécdota que relata Diógenes Laercio en Vida de los más ilustres filósofos griegos (Libro IV, Xenócrates.4, pág.101):
► «A uno que quería concurrir a su escuela [la Academia] sin haber antes aprendido Música, Geometría y Astronomía, le dijo: “Anda, vete de aquí, pues careces de los asideros de la Filosofía”, lo que significa concebir estas ciencias como la base de la Filosofía.»
Todavía mucho más tarde, ya hacia el año 500 de nuestra era, precisamente el filósofo y matemático neopitagórico Boecio seguía insistiendo acerca del carácter preliminar de las artes matemáticas como introducción a la Filosofía (Institutio Arithmetica, Fundamentos de Aritmética). Ediciones griegas y latinas. Universidad de León, 2002, cap.1, págs. 23–24):
► «Entre los hombres de autoridad inveterada que guiados por Pitágoras han mostrado el resplandor supremo de su espíritu y la fuerza de su pensamiento, se tiene la opinión de que no llegó nadie en los conocimientos de Filosofía a la perfección consumada si el acrecentamiento de tan noble sabiduría no pisaba, por así decir, en cuatro vías [las cuatro Ciencias o Artes de Quadrivium pitagórico: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía]. [...] Si el investigador carece de estas cuatro disciplinas, no puede encontrar la verdad y sin esta reflexión sobre la verdad nadie puede tener un conocimiento cierto».
https://plazabierta.com/la-dimension-filosofica-de-la-matematica-2/