Teoría del conteo (EstyProb I-II)

La teoría del conteo en matemáticas discretas abarca varios modelos y técnicas para enumerar y calcular el número de posibles arreglos o selecciones de elementos en conjuntos finitos. Los principales tipos de modelos de teoría del conteo son:

Principios fundamentales

Principio multiplicativo

Este principio establece que si un evento puede ocurrir de m maneras, y otro evento independiente puede ocurrir de n maneras, entonces los dos eventos pueden ocurrir juntos de m × n maneras

Por ejemplo, si tenemos 3 camisas, 5 pantalones y 4 corbatas, podemos combinarlos de 3 × 5 × 4 = 60 maneras diferentes2,4.

Principio aditivo

Este principio indica que si un evento puede ocurrir de m maneras, y otro evento mutuamente excluyente puede ocurrir de n maneras, entonces uno u otro evento puede ocurrir de m + n maneras.

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5

Modelos avanzados

Permutaciones

Las permutaciones son arreglos ordenados de elementos. Existen varios tipos:

Permutaciones simples: P(n) = n!
5
Permutaciones circulares: P(n) = (n-1)!
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Permutaciones con repetición: P(n; n1, n2, ..., nk) = n! / (n1! × n2! × ... × nk!)
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Variaciones

Las variaciones son selecciones ordenadas de r elementos de un conjunto de n elementos:

Variaciones sin repetición: V(n,r) = n! / (n-r)!
5
Variaciones con repetición: VR(n,r) = n^r
5

Combinaciones

Las combinaciones son selecciones no ordenadas de elementos:

Combinaciones sin repetición: C(n,r) = n! / [r!(n-r)!]
5
Combinaciones con repetición: CR(n,r) = (n+r-1)! / [r!(n-1)!]
5

Aplicaciones y técnicas adicionales

Diagrama de árbol: Representación gráfica útil para visualizar y contar posibilidades en problemas de conteo
10
.
Principio del palomar: Utilizado para demostrar la existencia de ciertos elementos en un conjunto basándose en su cardinalidad
3
.
Coeficientes binomiales: Relacionados con las combinaciones y útiles en el desarrollo del binomio de Newton
16
.

Estos modelos y técnicas de conteo son fundamentales en áreas como probabilidad, estadística, ciencias de la computación y otras disciplinas que requieren enumerar posibilidades o calcular el número de formas de realizar una tarea

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5

. Su aplicación abarca desde problemas cotidianos hasta complejos cálculos en criptografía, análisis de algoritmos y teoría de la información.

Otra Versión

La teoría del conteo comprende varias técnicas o modelos que permiten determinar de manera sistemática cuántas formas hay de organizar o seleccionar elementos. A grandes rasgos, se suelen agrupar en los siguientes tipos principales:

Principio aditivo.
Se aplica cuando un suceso puede realizarse de maneras mutuamente excluyentes. Por ejemplo, si existe la alternativa A con $m_{1}$ formas de ocurrir y la alternativa B con $m_{2}$ formas, el total es $m_{1} + m_{2}$
1
2
.
Principio multiplicativo.
Se utiliza cuando un suceso consta de pasos secuenciales. Si el primer paso se puede realizar de $n_{1}$ formas y el segundo de $n_{2}$ formas, entonces, en conjunto, hay $n_{1} \times n_{2}$ maneras de ocurrir
1
2
.
Permutaciones.
Son arreglos de todos o parte de los elementos de un conjunto, considerando el orden. Se calculan generalmente con factoriales (por ejemplo, $n!$ para permutar $n$ objetos distintos)
2
.
Permutaciones con repetición.
Aquí algunos elementos pueden estar repetidos. Se ajusta la fórmula dividiendo por los factoriales de las repeticiones (por ejemplo, $\frac{n!}{n_{1}! n_{2}! \dots}$ )
2
.
Combinaciones.
Se emplean cuando se seleccionan elementos sin importar el orden. Su fórmula típica es $(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$
1
2
.
Variaciones.
Se diferencia de la combinación en que el orden sí importa, pero no se utilizan todos los elementos, sino que se elige un subconjunto de tamaño $r$ . La fórmula es $\frac{n!}{(n - r)!}$
7
.

Estos modelos permiten resolver problemas de selección y organización de objetos en campos como la estadística, la probabilidad y la computación, ahorrando tiempo y evitando el recuento manual exhaustivo

2

.Referencias:

[1] https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/11-5-principios-de-conteo

[2] https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

[3] https://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria

[4] https://bdigital233.files.wordpress.com/2017/11/2-1-teorc3ada-de-conteo.pdf

[5] https://cards.algoreducation.com/es/content/FFsU04a-/teoria-conteo-matematicas-discretas

[6] https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/variaciones-permutaciones-y-combinaciones.html

[7] https://www.colegioconcepcionsanpedro.cl/wp-content/uploads/2020/03/MATEMATICA.3%C2%B0MB.TECNICAS-DE-CONTEO.pdf

[8] https://www.unirioja.es/talleres/creatividad_matematica/SeminarioBachillerato/COMBINATORIA.pdf

[9] http://www.dcb.unam.mx/profesores/irene/Notas/Tema_2-0.pdf

[10] http://ri.uaemex.mx/bitstream/handle/20.500.11799/35125/secme-21513.pdf?sequence=1

[11] https://www.jica.go.jp/Resource/project/elsalvador/004/materials/ku57pq00003uf6zu-att/teacher_HS2_07.pdf

[12] https://www.cimat.mx/~jortega/MaterialDidactico/EPyE09/Cap2.pdf

[13] https://www.jica.go.jp/Resource/project/elsalvador/004/materials/ku57pq00003uf6zu-att/text_HS2_07.pdf

[14] https://www.udbvirtual.edu.sv

[15] https://www.youtube.com/watch?v=ec8TQjfQrGY

[16] https://www.hiru.eus/es/matematicas/numeros-combinatorios

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